اثبات: ابتدا با توجه به قانون مدولار داریم
،
بنابراین

.
منظور از لم فوق این است که اگر مجموعه  هم- مستقل باشند، و داشته باشیم ، آنگاه مجموعه  نیز هم- مستقلند.
نتیجه۷-۲: فرض کنید خانواده‌ای از زیرمدول‌های - مدول  باشند، به طوری که به ازای هر، داشته باشیم . در این صورت خانواده‌ای هم- مستقل از زیرمدول‌های  است.
اثبات: به وسیله استقرا روی، نتیجه را ثابت می‌کنیم. فرض کنید  هم‌- مستقل باشند. توجه کنید بنا بر فرض داریم . فرض کنید ، و، و قرار دهید. آنگاه . حال بنابر لم ۷-۱، . در نتیجه زیرمدول‌های  هم- ‌مستقلند.
قضیه زیر، نتیجه اصلی این فصل است.
قضیه۷-۳: فرض کنید  یک حلقه و  یک - مدول باشد. فرض کنید   ایده‌آل‌های اول متمایز از  باشند به طوری که برای هر یک زیرمدول محض مانند از  وجود داشته باشد به طوری‌که  یک مدول - دوم باشد. آنگاه زیرمدول‌های   هم- مستقلند.
اثبات: کافی است این قضیه را برای مجموعه متناهی ثابت کنیم. فرض کنید ، برای یک عدد صحیح مثبت . اگر، آنگاه چیزی برای اثبات وجود ندارد. فرض کنید . از آنجایی که ها متمایزند‌‌، بدون کاسته شدن از کلیت قضیه می‌توان فرض کرد، به ازای . فرض کنید . آنگاه از آنجایی که، لذا داریم . زیرا از آنجایی که ، داریم
 و در نتیجه 
از طرفی یک - مدول - دوم است، لذا
.
در نتیجه داریم ، و این یک تناقض است. بنابراین .
حال فرض کنید . در این حالت
.
زیرا  نتیجه می‌دهد  .
به طور مشابه  نتیجه می‌دهد  .
در نتیجه ، بنابراین  .
از طرفی به‌وضوح داریم .
حال از آنجایی که ، یک - مدول - دوم است، داریم
.
در نتیجه داریم  و لذا . بنابراین  یا ، که یک تناقض است.
لذا . با تکرار این روند می‌توان نتیجه گرفت ، به ازای هر . حال بنابر نتیجه۷-۲ این قضیه به اثبات می‌رسد.
قضیه قبلی نتیجه فوری زیر را در پی دارد. اگر چه اثبات در ]۵، قضیه ۵.۳[ آمده است اما اثبات آن متفاوت است.
نتیجه۷-۴: فرض کنید  یک حلقه و  یک - مدول با بعد دوگان گولدی  برای یک عدد صحیح مثبت  باشد. آنگاه  حداکثر  ایده‌آل اول چسبیده دارد.
اثبات: فرض کنید ایده‌آل‌های اول چسبیده متمایز مدول باشند به طوری که  عدد صحیح مثبتی باشد که . آنگاه زیرمدول‌های  وجود دارد به طوری که به ازای هر،  مدول - دوم باشد. در نتیجه بنابر قضیه۷-۳ زیرمدول‌های  هم- مستقلند و لذا بعد دوگان گولدی بزرگتر یا مساوی  می‌باشد، که این یک تناقض است.
توجه کنید در نتیجه۷-۳ احتمال آنکه  هیچ ایده‌آل چسبیده نداشته باشد وجود دارد. ما در حالت کلی نمی‌دانیم یک مدول با بعد دوگان گولدی متناهی، و در حالت خاص یک مدول آرتینی، ایده‌آل چسبیده دارد.
لم۷-۵: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از حلقه  باشد. آنگاه گزاره های زیر برای یک - مدول راست مکمل شده قوی - دوم معادلند: