فرض کنید المان سمت راست در شکل ۴-۶ المانی ایزوپارامتریک میباشد.اگر بتوانیم این المان در دستگاه مختصات x وy(مختصات هندسی) را تبدیل به المانی مستطیلی با ابعاد شکل سمت چپ در دستگاه مختصات و (مختصات طبیعی) بکنیم، میتوانیم به راحتی معادلات مربوط به آن را حل کنیم. مهمترین فرض در این المانها این میباشد که نه تنها متغیر مورد نظر بلکه مختصات ما نیز بصورت تابعی از تابع شکل و مختصات گوشههای المان میباشد. یعنی
۴-۳۵
۴-۳۶
۴-۳۷
برای انتقال مختصات به نیاز به روابط زیر داریم
یا ۴-۳۸
در جایی که برای یک المان مستطیلی ۴ نقطهای
۴-۳۹
۴-۴۰
همانطور که میدانیم برای محاسبه ماتریس Bنیاز به داریم.، پس از معادله آن را بدست میآوریم.
۴-۴۱
[j]-1ماتریس معکوس ژاکوپین میباشد. حال میتوانیم ماتریس B را محاسبه کنیم.
۴-۴۲
حال با داشتن ماتریس B میتوانیم از روی تغییر مکانها، کرنشها و تنشها را محاسبه کنیم]۳۵[.
۴-۴- انتگرال عددی گوسین[۴۷]:
همانطور که میدانیم انتگرالگیری عضو جدایی ناپذیر روش اجزای محدود است، چه در بحث محاسبه ماتریس سختی و چه در بحث محاسبهی نیروهای معادل گرهی. در بسیاری از قسمت ها ممکن است انتگرال را بشود با روشهای تحلیلی محاسبه کرد اما در روش اجزای محدود که تعداد انتگرالها زیاد و پیچیده است، این روش دیگر کارآمد نیست و به جای آن از روش انتگرال عددی گوسین استفاده میکنیم.در این بخش ابتدا بر روی انتگرال عددی گوس در یک بعد بحث کرده و آن را برای دو بعد، بسط میدهیم]۲۵[.
این روش یک روش تقریبی عددی برای انتگرالهای پیچیده است.بر فرض اگر ما انتگرالی به شکل معادله ۴-۱۱ داشته باشیم با تغییر متغیر میتوانیم آنرا به فرم معادله۴-۱۲ بنویسیم.
۴-۴۳
۴-۴۴
حال میتوانیم انتگرال معادله را به فرم سادهشده ۴-۱۳ بنویسیم.
۴-۴۵ که در آن توابع وزنی گوسین و مقادیر معلوم به نام نقاط گوس وm درجه تقریب میباشد. در جدول ۴-۱ لیست کاملی از مقادیر نقاط گوس و توابع وزنی متناظر برای درجات مختلف تقریب آورده شده است.
جدول۴-۱-مقادبر توابع وزن و نقاط گوسین برای تقریبهای درجه ۱ تا ۴
انتخاب درجه تقریب، بستگی به توان تابع مورد نظر دارد و هرچه درجه تقریب ما بالاتر باشد دقت تقریب انتگرالگیری بیشتر است.
برای انتگرال ۲ بعدی نیز روند به همین صورت است فقط باید مطابق معادله ۴-۱۴ برای هر متغیرمرحله به مرحله پیش برویم.
۴-۴۶
برای المان ایزوپارامتریک ۴ نقطهای،تقریب گوس ۲*۲ دقت کافی را دارا میباشد.
همانطور که اشاره شد برای محاسبه ماتریس سختی، ما نیاز به تقریب گوس داریم.به طور مثال برای یک المان مستطیلی ۴ نقطهای نحوه محاسبه ماتریس سختی مطابق معادله ۴-۱۵ میباشد.
۴-۴۷
به طور مثال اگر i=j=2 در این صورت ما برای هر ۴ نقطه داخل هر المان میتوانیم ماتریس B، ماترسی سختی، تنش، کرنش و تغییر مکان را داشته باشیم.
شکل۴-۱۱- نمونه ای از المان ایزوپارامتریک ۴ نقطهای در مختصات واقعی به همراه مکان نقاط گوس درجه ۲ و۳
۴-۵- روشهای تکرار برای حل معادلات غیر خطی:
یکی از مهمترین تفاوتهای تحلیل الاستو پلاستیک و تحلیل الاستیک، تفاوت در شیوه حل معادلات آنها میباشد. در تحلیل الاستیک شیوه حل معادلات خطی میباشد در حالی که حل معادلات الاستو پلاستیک با توجه به غیر خطی بودن منحنی تنش- کرنش، نیازمند استفاده از روشهای غیر خطی میباشد. در نتیجه در این بخش مروری بر روشهای حل معادلات غیر خطی میکنیم.
استفاده از روش اجزای محدود در گروه بسیار زیادی از مسائل غیر خطی منجر به یکسری معادلات به فرم زیر می شود.
۴-۴۸
که در آن برداری از مجهولات و برداری از بارهای اعمال شده و ماتریس سختی کل میباشد. در بسیاری از مسائل ماتریسهای سختی و بار به طور مستقیم قابل کاربرد میباشند اما در بسیاری از مسائل با توجه به شرایط مسئله مقادیر این ماتریسها تغییر می کنند. اگر ماتریس ضرایب به ماتریس مجهولات بستگی داشته باشد، در این صورت حل مستقیم معادله ۴-۴۸ غیر ممکن است و یک روش تکراری(سعی و خطا) مورد نیاز است. روشهای تکرار شوندهی بسیاری وجود دارند که در ادامه به مهمترین آنها اشاره می شود.
۴-۵-۱- روش تکرار شوندهی مستقیم[۴۸]( تخمین پی در پی):
در این روش حل پیدرپی انجام میگیرد و هر یک از حلهای قبلی برای ماتریس مجهولات ، برای پیش بینی مقادیر حال حاضر ماتریس ضرایب بکار میرود یعنی
۴-۴۹ پس برای تخمین داریم.
۴-۵۰
اگر روند همگرا باشد بنابراین در تلاش r مقدار بینهایت به جواب واقعی نزدیک میگردد. همانطور که از معادله پیداست در هر تلاش نیاز به دوباره محاسبه ماتریس سختی میباشد.برای شروع این روند نیاز به یک حدس اولیه برای مقادیر مجهولات به منظور محاسبه ماتریس سختی مورد نیاز است. در کل یک مقدار اولیه که در محدوده جواب نهایی باشد مورد نیاز است. روند تکرار هنگامی همگرا در نظر گرفته می شود که تغییرات در مقادیر در دو تلاش متوالی بسیار اندک وناچیز گردد. در شکل ۴-۹ رابطه و نشان داده شده است. شکل مسیر همگرایی برای مقدار اولیه که کمتر از مقدار درست نهایی است، نشان میدهد. از مقدار اولیه مقدار متناظر را از رابطه که همان است را استخراج میکنیم. حال معادله حل شده و مقدار بدست می آید. حال مقدار ماتریس سختی متناظر با آن یعنی بدست آمده و با حل معادله مقدار بدست می آید. این چرخه ادامه پیدا میکندتا و بسیار نزدیک هم گردند در این صورت همگرایی اتفاق افتاده است. مقدار بوسیلهی شیب نمودار بدست می آید و با افزایش کاهش پیدا می کند.
مهمترین مشکل این روش این است که همگرایی جواب قابل تضمین نیست و در مراحل اولیه قابل پیش بینی نیست.
شکل۴-۱۲-روش تکرار مستقیم برای مسئله یک متغیره]۲۳[
۴-۵-۲- روش نیوتن رافسون:
به طور کلی روش نیوتن سریعتر از روش های تکراری دیگر نظیر نصف کردن یا وتری می باشد.زیرا همگرایی آن فوق خطی و از مرتبه دوم است به محض آنکه همگرایی مؤثر واقع گردد یعنی مقادیر دنباله روش نیوتن به اندازه کافی نزدیک به ریشه واقعی باشند همگرایی به قدری سریع می باشد که فقط چند جمله دیگر از دنباله ، مورد نیاز خواهد بود .اما متأسفانه این روش همیشه همگرایی را تضمین نمی کند . غالبا اًین روش را با سایر روش های کندتر در یک پیوند ترکیبی به کار می گیرند تا از لحاظ عددی جامع همگرا گردد.
هر مرحله از روند تکرار حل روش تخمین پی در پی به جواب نخواهد رسید مگر اینکه همگرایی اتفاق افتاده باشد. سیستمی از نیروهای باقیمانده میتوانند مطابق رابطه وجود داشته باشد.
۴-۵۱
این نیروهای باقیمانده میتوانند به عنوان معیاری برای دقت هر مرحله تفسیر گردند. از آنجا که H تابعی از میباشد در نتیجه تابع باقی مانده نیز تابعی از میباشد یعنی
۴-۵۲