آشنایی با ساختارهای فرکتالی بهبود یافته با ابعاد کوچک
۲-۱ مقدمه
در این فصل هدف بررسی استفاده از ساختارهای فرکتالی جهت کوچک کردن ابعاد آنتن می باشد اما لازم است به منظور درک بهتر ابتدا مروری مختصر بر روند تولید حلقه های فرکتالی در آنت های فرکتال داشته باشیم.
در این فصل ساختارهای فرکتالی حلقوی، دوقطبی و سه بعدی به طور مجزا مورد بررسی قرار می گیرند. در فصل سوم و چهارم با آنتن مایکرواستریپ، طراحی و شبیه سازی این آنتن با ذکر نتایج و مقایسه با کارهای انجام شده خواهیم پرداخت.
۲-۲ کوچک سازی آنتن مایکرو استریپ با بهره گرفتن از ساختارهای فرکتالی
به طور کلی به کارگیری ساختارهای فرکتالی در طراحی آنتن ها نه تنها باعث کوچک شدن ابعاد آنتن و بهبود امپدانس ورودی آنتن می گردد بلکه با بهره گرفتن از بعضی از ساختارهای فرکتالی آنتن ها این قابلیت را پیدا می کنند که در چندین باند فرکانسی عمل کنند. پس یکی از مزیت های اساسی استفاده از هندسه فرکتالی در آنتن ها قابلیت حداقل کردن ابعاد آنتن و افزایش نسبت سطح موثر آنتن به سطح واقعی آن می گردد. ساختارهای فرکتالی دارای یک روند تکرارشونده می باشند لذا می توان در یک حجم محدود به سطح و یا طول بسیار زیاد دست پیدا کنند که این خواص ذاتی هندسه های فرکتالی باعث ایجاد ویژگی های مناسبی در تشعشع کننده ها، منعکس کننده ها و آنتن ها می گردد که سبب می شود این ادوات عملکرد بهتری را در محیط انتشاری داشته باشند در این خصوص می توان به ساختارهای فرکتالی همچون درختی، هیلبرت، مینکوسکی و کخ اشاره کرد.
۲-۳ آنتن فرکتال حلقوی
به طور کلی آنتن های حلقوی برای رسیدن به امپدانس ورودی مناسب به منظور تطبیق بهتر با سیستم تغذیه، نیاز به سطح مقطع بزرگ می باشند. یا به عبارتی دیگر آنتن های حلقوی ساده با سطح مقطع کوچک، دارای امپدانس ورودی کمی می باشند که این مشکلات زیادی را برای فراهم کردن شرایط تطبیق آنتن ایجاد می کند.

معمولاً از ساختارهای فرکتالی حلقوی جهت غلبه بر این مشکل استفاده می کنند. شکل (۲-۱) دو نمونه از ساختارهای فرکتالی حلقوی را نشان می دهد.

شکل (۲-۱) : دو نمونه از ساختارهای فرکتالی حلقوی، فرکتالی مینکوسکی و فرکتالی کخ [۱۰]
در شکل (۲-۱)، از دو ساختار فرکتالی حلقوی مینکوسکی^[۱۴] و کخ^[۱۵] استفاده شده است. مهمترین خاصیت هندسه های فرکتالی ذکر شده این است که در یک حجم محدود می توان به محیطی با طول نامحدود رسید. وجود این خاصیت در این ساختارها سبب می گردد تا آنتن هایی که از هندسه های فرکتالی فوق استفاده می کنند، دارای خواص تشعشعی بهتری باشند. برای مثال با افزایش طول آنتن می توان امپدانس ورودی حلقه را افزایش داد. این افزایش امپدانس ورودی، به آنتن کمک می کند تا بتواند بهتر با خط تغذیه ورودی تطبیق گردد.
در ادامه هر دو ساختار شکل (۲-۱) به طور جداگانه مورد بررسی قرار می گیرند.
۲-۳-۱ آنتن فرکتال حلقوی کخ
اولین آنتن فرکتالی حلقوی را که مورد بررسی قرار می دهیم، آنتن حلقوی کخ می باشد. برای طراحی آنتن فرکتالی کخ، همانند شکل (۲-۲) عمل می کنیم. همانگونه که در این شکل نشان داده شده است، حلقه اولیه در روند تولید ساختار کخ، یک مثلث می باشد. در مرحله بعدی هر کدام از اضلاع این مثلث با یک یک عملگر^[۱۶] جایگزین می شود. در زیر شکل (۲-۲) جایگزینی یک ضلع با عملگر کخ نشان داده شده است. شکل (۲-۲) چهار تکرار اول در روند تولید ساختار کخ را نشان می دهد.

شکل (۲-۲) : روند تولید حلقه فرکتالی کخ برای چهار تکرار اول و عملگر کخ [۱۰]
با توجه به اینکه عملگر کخ، طول هر ضلع را به اندازه مقدار اولیه اش افزایش می دهد، لذا در هر تکرار، طول محیط کل حلقه به اندازه محیطش، افزایش می یابد.
در طراحی آنتن های فرکتالی حلقوی کخ معمولاً از چند تکرار اول حلقه استفاده می شود که در اینجا چهار تکرار اول حلقه فرکتالی کخ در نظر گرفته شده است، و نتایج آن با آنتن دایره ای مقایسه گردیده است. شکل (۲-۳) ابعاد این دو ساختار را با هم نشان می دهد. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، به ازای تمامی تکرارها همواره حلقه فرکتالی کخ در داخل حلقه دایره ای محاط می باشد. لذا سطح اشغالی حلقه دایروی همواره بزرگتر از سطح اشغالی توسط حلقه فرکتالی کخ می باشد. برای مثال سطح حلقه فرکتالی اشغال شده در تکرار چهارم به صورت زیر می باشد.
در این حالت سطح حلقه دایروی برابر است با :
لذا نسبت دو سطح برابر است با :
لذا همان طور که رابطه (۲-۳) نشان می دهد، سطح اشغال شده توسط حلقه فرکتالی کخ پس از چهارمین تکرار، ۳۵% کوچکتر از حلقه دایروی می باشد.

شکل (۲-۳) : مقایسه حلقه فرکتالی کخ در تکرار چهارم با حلقه دایروی [۱۰]
محیط فرکتالی پس از n امین تکرار به صورت زیر محاسبه می شود:
لذا برای تکرار چهارم محیط حلقه برابر است با :
در تمامی این حالات حلقه دایروی دارای محیط زیر می باشد:
لذا نسبت محیط حلقه کخ به محیط حلقه دایروی برابر است با :
در بخش های بعدی از این نسبت ها برای توضیح خواص تشعشعی آنتن فرکتالی کخ در مقایسه با آنتن دایروی استفاده می شود. در ادامه نتایج حاصل از اندازه گیری امپدانس ورودی آنتن و پترن راه دور را برای این دو ساختار، که توسط روش ممان به دست آمده است، با هم مقایسه می کنیم. امپدانس ورودی این دو آنتن در شکل (۲-۴) بر حسب محیط حلقه دایروی در طول موج، نشان داده شده است. همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، حلقه دایروی با محیطی برابر با دارای امپدانس ورودی می باشد، که این مقدار برای زمانی که حلقه دایروی دارای محیطی برابر باشد، به افزایش می یابد. این نتایج در حالی است که حلقه فرکتالی کخ در همان گستره فرکانسی، دارای تغییرات امپدانسی ورودی بسیار بالاتری می باشد، یعنی تغییرات فرکانس از نقطه شروع تا انتها، امپدانس ورودی را در گستره ( تا ) تغییر می دهد. اختلال کوچکی که در شکل (۲-۴) مشاهده می کنید، به محدودیت های عددی موجود در روش ممان مربوط می شود.
در حالت کلی برای یک حلقه کوچک دایروی می توان مقاومت تشعشعی را از رابطه تقریبی زیر محاسبه کرد:

شکل (۲-۴) : امپدانس ورودی برای دو آنتن حلقوی کخ و آنتن حلقوی دایره ای [۱۰]
پترن تشعشعی برای این دو آنتن حلقه­ای در شکل (۲-۵) نشان داده شده است. شکل (۲-۵-a) پترن تشعشعی را در دو صفحه XZ و YZ نشان می دهد و شکل (۲-۵-b) پترن تشعشعی را در صفحه XY نشان می دهد. باید توجه داشت که در تمامی این حالات آنتن در صفحه XY قرار دارد. سمت گرایی آنتن حلقوی دایره ای برابر با می باشد. این در حالی است که برای آنتن حلقوی کخ، این مقدار به تغییر می یابد. یک تقریب مرتبه اول برای محاسبه سمت گرایی آنتن حلقوی دایره ای کوچک، به صورت زیر می باشد.

شکل (۲-۵) : پترن تشعشعی برای آنتن حلقوی کخ و آنتن حلقوی دایروی [۱۰]
که در عبارت فوق حداکثر تشعشع و کل توان تشعشعی می باشد. سطح مؤثر روزنه برای آنتن حلقوی دایره ای برابر است با :
با توجه به دو رابطه (۲-۹) و (۲-۱۰) ضریب بازده روزنه برای آنتن حلقوی دایره ای برابر است با :
این مقادیر بیانگر این است که، سطح مؤثر آنتن دایروی ۱۲/۲۲ برابر بزرگتر از سطح واقعی آن می باشد. برای آنتن فرکتالی کخ ضریب بازدهی روزنه و سطح مؤثر آنتن برابر است با :
با توجه به مطالب فوق، ضریب بازدهی روزنه برای آنتن فرکتال کخ ۵/۱ برابر آنتن حلقوی دایره ای متناظر با آن می باشد، لذا برای رسیدن به گین یکسان برای این دو آنتن، به سطح مقطع کوچکتری در آنتن های فرکتالی در مقایسه با آنتن های حلقوی ساده نیاز می باشد.
با توجه به اینکه پترن تشعشعی برای آنتن حلقوی کوچک همانند آنتن دوقطبی (مغناطیسی) می باشد، لذا در صورتی که محیط حلقه از افزایش یابد با پدیده ایجاد گلبرگ فرعی در پترن تشعشعی آنتن مواجه خواهیم شد.
۲-۳-۲ آنتن فرکتال حلقوی مینکوسکی
یکی دیگر از آنتن های فرکتالی حلقوی رایج، آنتن مینکوسکی می باشد. در این بخش ضمن بررسی ساختار این آنتن، از طریق مقایسه این آنتن با آنتن مربعی متناظرش، به تفصیر خواص آن می پردازیم. شکل (۲-۶) آنتن حلقوی مینکوسکی را در چهار تکرار اول نشان می دهد. علاوه بر این در این شکل می توانید عملگر تولید ساختار فرکتالی مینکوسکی را نیز مشاهده کنید. تفاوت اصلی بین ساختار فرکتالی مینکوسکی با ساختار کخ در نوع حلقه ابتدایی آنها می باشد، به طوری که حلقه ابتدایی در ساختار مینکوسکی یک مربع، و در ساختار کخ یک مثلث می باشد.

شکل (۲-۶) : روند تولید حلقه فرکتالی مینکوسکی برای چهار تکرار اول و عملگر مینکوسکی [۱۰]
در عملگر مینکوسکی، طول دو جزء اول و آخر و جزء میانی، هر کدام برابر طول عنصر اولیه می باشند و طول دو جزء دیگر عملگر بسته به کاربرد ساختار، متغیر بوده و به آنها عرض فرورفتگی^[۱۷] می گویند.
تغییر عرض فرورفتگی، باعث ایجاد تغییر در ابعاد شکل فرکتالی منتجه شده که این خود باعث تغییر خواص آنتن فرکتالی می­ شود. به عنوان مثال، افزایش عرض فرورفتگی باعث افزایش ابعاد فرکتال می­گردد که نتیجه آن افزایش امپدانس ورودی آنتن می­باشد. در ادامه این بخش ابتدا، مقایسه­ ای بین تغییرات فرکانس رزنانس آنتن فرکتالی مینکوسکی و آنتن مربعی خواهیم داشت.
برای این منظور پارامتر فاکتور مقیاس^[۱۸] را معرفی می کنیم. این پارامتر معیاری برای مقایسه فرکانس رزنانس آنتن فرکتالی، با آنتن مربعی با عرض می باشد. شکل (۲-۷) نتایج مقایسه این دو حلقه را در تکرارهای مختلف و عرض فرورفتگی مختلف، برای فاکتور مقیاس نشان می دهد.

شکل (۲-۷) : تغییرات فاکتور مقیاس برای تکرارها و عرض فرورفتگی های مختلف آنتن مینکوسکی [۱۰]
همان طور که در این شکل مشاهده می کنید، با افزایش عرض فروروفتگی، تغییرات فرکانس رزنانس مینکوسکی افزایش می یابد. که این نتیجه افزایش طول ساختار فرکتالی، بر اثر افزایش عرض فرورفتگی می باشد.
شکل (۲-۸) پترن تشعشعی را برای آنتن­های فرکتالی مینکوسکی با درجات تکرار و عرض­های فرورفتگی مختلف نشان می دهد. با توجه به اینکه آنتن ها در صفحه قرار دارند، پترن تشعشعی در صفحه رسم شده است. نتایج حاصل از اندازه گیری سمت گرایی آنتن حلقوی در جدول (۲-۱) آمده است. همان گونه که در این جدول مشاهده می کنید، سمت گرایی آنتن حلقوی، پس از فرکتالی شدن کاهش ناچیزی پیدا می کند و این در حالی است که ضریب بهره روزنه به شدت افزایش می یابد. یا به عبارتی دیگر، برای رسیدن به سطح مؤثر مشخص، در ساختار فرکتالی نیاز به سطح واقعی بسیار کمتری نسبت به حلقه مربعی، می باشد. برای مثال برای یک حلقه مربعی ساده ضریب بهره روزنه ۲۵۴/۲ می باشد در حالی که برای حلقه فرکتالی مینکوسکی در تکرار دوم و عرض فرورفتگی ۹/۰ ، ضریب بهره روزنه برابر با ۵۹/۱۱ می باشد. مقایسه سمت گرایی این دو آنتن نیز، تلفات سمت گرایی را برای آنتن فرکتالی، در مقایسه با آنتن مربعی نشان می دهد. اگرچه کاهش سمت گرایی نامطلوب می باشد، اما از آنجا که سطح اشغالی آنتن پس از فرکتالی شدن ۷ برابر کمتر شده است، این مقدار کاهش سمت گرایی قابل اغماض می باشد.

شکل (۲-۸) : پترن تشعشعی آنتن فرکتالی مینکوسکی با درجات تکرار و عرض های فرورفتگی مختلف [۱۰]
جدول (۲-۱) : سمت گرایی و سطح مؤثر آنتن های فرکتالی مینکوسکی با درجات تکرار و عرض های فرورفتگی مختلف [۱۰]